设$f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$f(x,y)=(x^2,y^2)$.设$x_0$是点$x_0:=(1,2)$.并设$L:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$L(x,y):=(2x,4y)$.我们断言$f$在点$x_0$处可微，具有导数$L$.

证明:

令$x=(x',y')$

  \begin{equation}

    \lim_{x\to (1,2);x\in

      \mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2,y'^2)-(1,4)-L((x',y')-(1,2))|}{|(x',y')-(1,2)|}\\=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^{2}\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2-2x'+1,y'^2-4y'+4)|}{|(x'-1,y'-2)|}=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0

  \end{equation}

因此，$f$在$x_0$处的导数为$L$.

之所以$$\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0$$

是因为以上问题等价于如下问题:

已知$a,b>0$,则

\begin{equation}

 \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a+b}}=0

\end{equation}

(2) 成立当且仅当

\begin{equation}

 \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=0

\end{equation}(为什么?)

(3) 化简如下

\begin{equation}

 \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to

   0}\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}(a+b)-\frac{2ab}{a+b}

\end{equation}

由于

\begin{equation}

  \lim_{a\to 0;b\to 0}a+b=0

\end{equation}

因此我们只用证明

\begin{equation}

  \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=0

\end{equation}(为什么?)

而

\begin{equation}

  \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}}

\end{equation}

由于$1+\frac{b}{a}>1$,因此

\begin{equation}

  \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}}=0

\end{equation}成立.